/dev/null に消える前に…

記憶から消える前に備忘録。

ラプラス変換をなるべく覚えない

ラプラス変換の変換表を暗記するのは面倒…
ということで,なるべく覚えない方法を残しておく.

覚えるべき1つの式

ラプラス変換 | はいてくどかたのヒトリゴト を参考にした.

覚えるべき式はとりあえず1つだけ.

 {\displaystyle
\begin{align}
\mathcal{L} \left[k t^{n} e^{at} \right] = \frac{kn!}{(s-a)^{n+1}} \tag{1}
\end{align}
}

ここで,  k,a は任意定数(複素数でもよい),  n は非負整数. ameblo.jp

これだけ覚えておけば,

 {\displaystyle
\begin{align}
& \cos{at} = \frac{e^{iat} + e^{-iat}}{2} \\
& \sin{at} = \frac{e^{iat} - e^{-iat}}{2i} \\
& \cosh{at} = \frac{e^{at} + e^{-at}}{2} \\
& \sinh{at} = \frac{e^{at} - e^{-at}}{2}
\end{align}
}

を通して,三角関数双曲線関数を含む変換にも対応可能.

拡張

簡単のために,  n は非負整数で定義していたが,階乗の概念を拡張したガンマ関数  \Gamma (x) を用いて,

 {\displaystyle
\begin{align}
\mathcal{L} \left[ k t^{n} e^{at} \right] = \frac{k\Gamma (n+1)}{(s-a)^{n+1}} \tag{2}
\end{align}
}

を覚えてもよい.
このとき,  k,a は任意定数(複素数でもよい),  n はとりあえず  n > -1 をみたす任意実数定数では成り立つ.
 \Re{n} > -1 の任意定数で成り立つかもしれないが確認していない…)

ガンマ関数の性質を用いた例を挙げる.

  • 性質  \Gamma (n+1) = n!
    これを利用すると(2)は最初に紹介した式(1)に変形できる.
 {\displaystyle
\begin{align}
\mathcal{L} \left[ k t^{n} e^{at} \right] & = \frac{k\Gamma (n+1)}{(s-a)^{n+1}} \\
& = \frac{kn!}{(s-a)^{n+1}}
\end{align}
}
  • 性質  \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}
    (2)において  n=-\frac{1}{2} を代入する.
 {\displaystyle
\begin{align}
\mathcal{L} \left[k t^{-\frac{1}{2}} e^{at} \right] & = \mathcal{L} \left[ \frac{ke^{at}}{\sqrt{t}} \right] \\
& = \frac{k\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) }{(s-a)^{\frac{1}{2}}} \\
& = k\sqrt{\frac{\pi}{s-a}}
\end{align}
}