ガウス積分 Part 1
の形のガウス積分について証明を残しておく.
ただし は実数とする.
ガウス積分(基本形)
証明)
まず,
を考える.
ここで, の積分区間がともに から までなので,この二重積分の積分領域は 平面全体になる.
を極座標 に変換すると,上図より の積分区間は から , の積分区間は から となるので,
よって,
となる.
ガウス積分(一般形)
について証明する.
証明)
と置換すると , の積分区間は から までであるので,
ガウス積分(基本形)の結果を利用して,
となる.
ガウス積分(片側)
ついでに の積分区間が から までのときのガウス積分についても記しておく.
証明1)
ガウス積分(基本形)の結果と の偶関数性に注目すれば明らか.
証明2)
ガウス積分(基本形)の証明と同様に,求める積分値の2乗を考えて,
であり,この二重積分の積分領域は 平面の第一象限になる.
を極座標 に変換すると,上図より の積分区間は から , の積分区間は から となるので,
よって,
となる.
次回記事