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記憶から消える前に備忘録。

sの平方根がでてくるラプラス変換

数学

ラプラス変換した際に \sqrt{s} がでてきてしまったときに使えるかな…

sの平方根がでてくるラプラス変換公式

http://taruibunka.la.coocan.jp/buturi/apma1.pdf の2.3節「ラプラス変換の公式一覧」(p.17)に

 {\displaystyle
\begin{align}
\mathcal{L} \left[ \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{u^{2}}{4t}} f(u) \mathrm{d} u \right] = \frac{F(\sqrt{s})}{\sqrt{s}}
\end{align}
}

という公式があった．
これについての導出過程が資料にはあまり詳しく記されていなかったのでここに記しておく．

f(t) のラプラス変換を F(s) とおく．

 {\displaystyle
\begin{align}
& \mathcal{L} \left[ \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{u^{2}}{4t}} f(u) \mathrm{d} u \right] \\
=\ & \int_{t=0}^{t=\infty} e^{-st} \left( \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \int_{u=0}^{u=\infty} e^{-\frac{u^{2}}{4t}} f(u) \mathrm{d} u \right) \mathrm{d} t \\
=\ & \int_{u=0}^{u=\infty} f(u) \left( \int_{t=0}^{t=\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-st-\frac{u^{2}}{4t}} \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} u
\end{align}
}

ここで， \tau = \sqrt{st} と置換すると，

 {\displaystyle
\begin{align}
& \mathrm{d} \tau = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{s}{t}} \mathrm{d} u \\
& \begin{array}{c|ccc}
t & 0 & \to & \infty \\ \hline
\tau & 0 & \to & \infty
\end{array}
\end{align}
}

となる．

 {\displaystyle
\begin{align}
& \int_{u=0}^{u=\infty} f(u) \left( \int_{t=0}^{t=\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-st-\frac{u^{2}}{4t}} \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} u \\
=\ & \int_{u=0}^{u=\infty} f(u) \left( \int_{\tau=0}^{\tau=\infty} \frac{2}{\sqrt{\pi s}} e^{-\tau^{2}-\frac{su^{2}}{4\tau^{2}}} \mathrm{d} \tau \right) \mathrm{d} u
\end{align}
}

ここで \tau についての積分をよく見ると ガウス積分 Part 3 - /dev/null に消える前に… の結果が利用できることに気づく．

 {\displaystyle
\begin{align}
& \int_{u=0}^{u=\infty} f(u) \left( \int_{\tau=0}^{\tau=\infty} \frac{2}{\sqrt{\pi s}} e^{-\tau^{2}-\frac{su^{2}}{4\tau^{2}}} \mathrm{d} \tau \right) \mathrm{d} u \\
=\ & \int_{u=0}^{u=\infty} f(u) \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi s}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} e^{-\sqrt{s}u} \mathrm{d} u \\
=\ & \frac{1}{\sqrt{s}} \int_{u=0}^{u=\infty} f(u) e^{-\sqrt{s}u} \mathrm{d} u \\
=\ & \frac{F(\sqrt{s})}{\sqrt{s}}
\end{align}
}

以上によって導出された．
なお，最後の変形には，ラプラス変換の定義

 {\displaystyle
\begin{align}
F(s) = \int_{u=0}^{u=\infty} f(u) e^{-su} \mathrm{d} u
\end{align}
}

を用いている．