/dev/null に消える前に…

記憶から消える前に備忘録。

e^(-√s)のラプラス変換

数学

ある日，ラプラス変換の問題を解いていたところ e^{-\sqrt{s}} という形が でてきてしまった．
http://taruibunka.la.coocan.jp/buturi/apma1.pdf を見てみると2.5節「主な関数のラプラス変換一覧」(p.25)の15番に変換公式を見つけたので，これについて記しておく．

関連記事

準備1

まず，資料2.5節「主な関数のラプラス変換一覧」(p.25)の14番の変換公式

 {\displaystyle
\begin{align}
\mathcal{L} \left[ \frac{e^{-\frac{a^{2}}{4t}}}{\sqrt{\pi t}} \right] = \frac{e^{-a\sqrt{s}}}{\sqrt{s}}
\end{align}
}

を証明する．

証明）
f(t) = \delta (t-a) とおくと， F(s) = e^{-as} であり，

 {\displaystyle
\begin{align}
& \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{u^{2}}{4t}} f(u) \mathrm{d} u \\
=\ & \frac{1}{\sqrt{\pi t}} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{u^{2}}{4t}} \delta (u-a) \mathrm{d} u \\
=\ & \frac{e^{-\frac{a^{2}}{4t}}}{\sqrt{\pi t}}
\end{align}
}

 {\displaystyle
\begin{align}
& \frac{F(\sqrt{s})}{\sqrt{s}} = \frac{e^{-a\sqrt{s}}}{\sqrt{s}}
\end{align}
}

より，sの平方根がでてくるラプラス変換 - /dev/null に消える前に…の結果を用いると，

 {\displaystyle
\begin{align}
\mathcal{L} \left[ \frac{e^{-\frac{a^{2}}{4t}}}{\sqrt{\pi t}} \right] = \frac{e^{-a\sqrt{s}}}{\sqrt{s}}
\end{align}
}

が示される．

準備2

一般の関数 f(t) について，

 {\displaystyle
\begin{align}
\mathcal{L} \left[ \frac{f(t)}{t} \right] = \int_{\sigma = s}^{\sigma = \infty} F(\sigma) \mathrm{d} \sigma
\end{align}
}

が成り立つ．

証明）

 {\displaystyle
\begin{align}
& \mathcal{L} \left[ \frac{f(t)}{t} \right] \\
=\ & \int_{0}^{\infty} e^{-st} \frac{f(t)}{t} \mathrm{d} t \\
=\ & \int_{t = 0}^{t = \infty} f(t) \left( \int_{\sigma = s}^{\sigma = \infty} e^{-\sigma t} 
 \mathrm{d} \sigma \right) \mathrm{d} t \\
=\ & \int_{\sigma = s}^{\sigma = \infty} \left( \int_{t = 0}^{t = \infty} f(t) e^{-\sigma t} 
 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} \sigma \\
=\ & \int_{\sigma = s}^{\sigma = \infty} F(\sigma) \mathrm{d} \sigma
\end{align}
}

変換公式の証明

 {\displaystyle
\begin{align}
\mathcal{L} \left[ \frac{ae^{-\frac{a^{2}}{4t}}}{2\sqrt{\pi t^{3}}} \right] = e^{-a\sqrt{s}}
\end{align}
}

証明）
準備1，準備2を用いて，

 {\displaystyle
\begin{align}
& \mathcal{L} \left[ \frac{ae^{-\frac{a^{2}}{4t}}}{2\sqrt{\pi t^{3}}} \right] \\
=\ & \mathcal{L} \left[ \frac{a}{2} \frac{\frac{e^{-\frac{a^{2}}{4t}}}{\sqrt{\pi t}}}{t} \right] \\
=\ & \frac{a}{2} \int_{s}^{\infty} \frac{e^{-a\sqrt{\sigma}}}{\sqrt{\sigma}} \mathrm{d} \sigma \\
=\ & \left[ -e^{-a\sqrt{s}} \right]_{s}^{\infty} \\
=\ & e^{-a\sqrt{s}}
\end{align}
}

が示された．