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記憶から消える前に備忘録。

ガウス積分 Part 3

数学

ガウス積分の応用についての備忘録．
今回は，指数に {\displaystyle \frac{1}{x^{2}} } を含む場合について考える．

 {\displaystyle
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2} - \frac{\beta}{x^{2}}} \mathrm{d} x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \cosh \left( 2\sqrt{\alpha \beta} \right)
}

ただし \alpha(>0), \beta(\ge 0) は実数とする．

前回記事

誤差関数

まず，誤差関数 { \displaystyle \mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{d} t } を導入する．
誤差関数 { \mathrm{erf}(x) } を図示すると下図のようになる．

ガウス積分 Part 1の結果を踏まえると，

 {\displaystyle
\begin{align}
& \mathrm{erf}(\infty) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{d} t = 1 \\ 
& \mathrm{erf}(-\infty) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{-\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{d} t = -1 
\end{align}
}

となることがわかる．

誤差関数の微分

誤差関数 { \mathrm{erf}(x) } の微分はとても単純で，

 {\displaystyle
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^{2}}
\end{align}
}

となる．

ガウス積分（応用形）

さて，ここから本題を考えていく．

 {\displaystyle
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2} - \frac{\beta}{x^{2}}} \mathrm{d} x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \cosh \left( 2\sqrt{\alpha \beta} \right)
}

ただし \alpha(>0), \beta(\ge 0) は実数とする．

証明）
\alpha, \beta(\ge 0) であることから，指数を以下の2通りに平方完成できる．

 {\displaystyle
\begin{align}
& \alpha x^{2} + \frac{\beta}{x^{2}} \\
=\ & \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \left( \sqrt{\alpha} x + \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right)^{2} - 2 \sqrt{\alpha \beta} \\
\displaystyle \left( \sqrt{\alpha} x - \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right)^{2} + 2 \sqrt{\alpha \beta} \\
\end{array} \right.
\end{align}
}

ここで， {\displaystyle \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x + \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) , \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x - \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) } の微分を考えると，

 {\displaystyle
\begin{align}
& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x + \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-\left( \sqrt{\alpha} x + \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right)^{2}} \times \left( \sqrt{\alpha} - \frac{\sqrt{\beta}}{x^{2}} \right) \tag{1}\\
& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x - \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-\left( \sqrt{\alpha} x - \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right)^{2}} \times\left( \sqrt{\alpha} + \frac{\sqrt{\beta}}{x^{2}} \right) \tag{2}
\end{align}
}

となり， (1) \times e^{2 \sqrt{\alpha \beta}} +(2) \times e^{-2 \sqrt{\alpha \beta}} より，

 {\displaystyle
\begin{align}
& e^{2 \sqrt{\alpha \beta}} \times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x + \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) + e^{-2 \sqrt{\alpha \beta}} \times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x - \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) \\
=\ & 2\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \left( e^{-\left( \sqrt{\alpha} x + \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right)^{2}+2 \sqrt{\alpha \beta}} + e^{-\left( \sqrt{\alpha} x - \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right)^{2}-2 \sqrt{\alpha \beta}} \right) \\
=\ & 4\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} e^{-\alpha x^{2} - \frac{\beta}{x^{2}}}
\end{align}
}

 {\displaystyle
\begin{align}
e^{-\alpha x^{2} - \frac{\beta}{x^{2}}} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \left\{ e^{2 \sqrt{\alpha \beta}} \times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x + \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) + e^{-2 \sqrt{\alpha \beta}} \times \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x - \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) \right\}
\end{align}
}

となる．
よって，

 {\displaystyle
\begin{align}
& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2} - \frac{\beta}{x^{2}}} \mathrm{d} x \\
=\ & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \left[ e^{2 \sqrt{\alpha \beta}} \times \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x + \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) + e^{-2 \sqrt{\alpha \beta}} \times \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x - \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) \right]_{-\infty}^{\infty} \\
=\ & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \left\{ \left( \mathrm{erf}( \infty ) - \mathrm{erf}( -\infty ) \right) e^{2 \sqrt{\alpha \beta}} + \left( \mathrm{erf}( \infty ) - \mathrm{erf}( -\infty ) \right) e^{-2 \sqrt{\alpha \beta}} \right\} \\
=\ & \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \frac{e^{2 \sqrt{\alpha \beta}} + e^{-2 \sqrt{\alpha \beta}}}{2}  \\
=\ & \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \cosh \left( 2\sqrt{\alpha \beta} \right)
\end{align}
}

となる．

ちなみに， \beta = 0 のときには一般のガウス積分となるが， \cosh \left( 2\sqrt{\alpha \beta} \right) = 1 であるため一般のガウス積分の性質が確認できる．

積分区間が片側のとき

ついでに，積分区間が 0 から \infty までのときについて考えておく．

 {\displaystyle
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^{2} - \frac{\beta}{x^{2}}} \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e^{-2\sqrt{\alpha \beta}}
}

ただし \alpha(>0), \beta(\ge 0) は実数とする．

証明）
積分区間が両側，つまり， -\infty から \infty までのときの証明と途中まで同じ．

 {\displaystyle
\begin{align}
& \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x^{2} - \frac{\beta}{x^{2}}} \mathrm{d} x \\
=\ & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \left[ e^{2 \sqrt{\alpha \beta}} \times \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x + \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) + e^{-2 \sqrt{\alpha \beta}} \times \mathrm{erf}\left( \sqrt{\alpha} x - \frac{\sqrt{\beta}}{x} \right) \right]_{0}^{\infty} \\
=\ & \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \left\{ \left( \mathrm{erf}( \infty ) - \mathrm{erf}( \infty ) \right) e^{2 \sqrt{\alpha \beta}} + \left( \mathrm{erf}( \infty ) - \mathrm{erf}( -\infty ) \right) e^{-2 \sqrt{\alpha \beta}} \right\} \\
=\ & \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e^{-2\sqrt{\alpha \beta}}
\end{align}
}

より，示された．

これも \beta = 0 のときには片側ガウス積分となるが， e^{-2\sqrt{\alpha \beta}} = 1 であるため片側ガウス積分の性質が確認できる．