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記憶から消える前に備忘録。

ガウス積分 Part 2

数学

前回に引き続き，ガウス積分についての備忘録．
今回は複素数を含む場合について証明を残しておく．

前回記事

複素ガウス積分

 {\displaystyle
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha \{x-(p+qi)\}^{2}} \mathrm{d} x = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
}

ただし \alpha(>0), p, q は実数とする．

証明）
複素関数 f(z) = e^{-z^{2}} を下図の経路 C (= C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}) で積分することを考える．

まず， f(z) は極をもたないので留数定理より

 {
\begin{align}
\oint_{C} f(z) \mathrm{d} z = 0
\end{align}
}

とわかる．（留数定理についての説明は省きます…）

  • 経路 C_{1} について
    z=\alpha (x-p) とおくと \mathrm{d} z = \alpha \mathrm{d} x ， x の積分区間は -R から R までである．
 {
\begin{align}
& \int_{C_{1}} f(z) \mathrm{d} z \\
=\ & \int_{-R}^{R} e^{-\alpha (x-p)^{2}} \alpha \mathrm{d} x \\
=\ & \alpha \int_{-R}^{R} e^{-\alpha (x-p)^{2}} \mathrm{d} x
\end{align}
}
  • 経路 C_{3} について
    z=\alpha {x-(p+qi)} とおくと \mathrm{d} z = \alpha \mathrm{d} x ， x の積分区間は R から -R までである．
 {
\begin{align}
& \int_{C_{3}} f(z) \mathrm{d} z \\
=\ & \int_{R}^{-R} e^{-\alpha \{x-(p+qi)\}^{2}} \alpha \mathrm{d} x \\
=\ & -\alpha \int_{-R}^{R} e^{-\alpha \{x-(p+qi)\}^{2}} \mathrm{d} x
\end{align}
}
  • 経路 C_{2} について
    z=\alpha {(-p+R)+yi} とおくと \mathrm{d} z = i \alpha \mathrm{d} y ， y の積分区間は 0 から -q までである．
 {
\begin{align}
& \left| \int_{C_{2}} f(z) \mathrm{d} z \right| \\
=\ & \left| \int_{0}^{-q} e^{-\alpha \{(-p+R)+yi\}^{2}} i \alpha \mathrm{d} y \right| \\
\le\ & \left| \int_{-q}^{0} \left| \alpha e^{-\alpha \{(-p+R)+yi\}^{2}} \right| \mathrm{d} y \right| \\
=\ & \left| \int_{-q}^{0} \left| \alpha e^{-\alpha \{(-p+R)^{2}-y^{2}\}} e^{-2\alpha (-p+R)yi} \right| \mathrm{d} y \right| \\
\le\ & \left| \int_{-q}^{0} \alpha e^{\alpha \{-(-p+R)^{2}+q^{2}\}} \mathrm{d} y \right| \\
=\ & |q| \alpha e^{\alpha \{-(-p+R)^{2}+q^{2}\}} \\
\to\ & 0 \ \ (R \to \infty)
\end{align}
}

 {
\begin{align}
\lim_{R \to \infty} \int_{C_{2}} f(z) \mathrm{d} z = 0
\end{align}
}
  • 経路 C_{4} について
    z=\alpha {(-p-R)+yi} とおくと \mathrm{d} z = i \alpha \mathrm{d} y ， y の積分区間は -q から 0 までである．
 {
\begin{align}
& \left| \int_{C_{4}} f(z) \mathrm{d} z \right| \\
=\ & \left| \int_{-q}^{0} e^{-\alpha \{(-p-R)+yi\}^{2}} i \alpha \mathrm{d} y \right| \\
\le\ & \left| \int_{-q}^{0} \left| \alpha e^{-\alpha \{(-p-R)+yi\}^{2}} \right| \mathrm{d} y \right| \\
=\ & \left| \int_{-q}^{0} \left| \alpha e^{-\alpha \{(-p-R)^{2}-y^{2}\}} e^{-2\alpha (-p-R)yi} \right| \mathrm{d} y \right| \\
\le\ & \left| \int_{-q}^{0} \alpha e^{\alpha \{-(-p-R)^{2}+q^{2}\}} \mathrm{d} y \right| \\
=\ & |q| \alpha e^{\alpha \{-(-p-R)^{2}+q^{2}\}} \\
\to\ & 0 \ \ (R \to \infty)
\end{align}
}

 {
\begin{align}
\lim_{R \to \infty} \int_{C_{4}} f(z) \mathrm{d} z = 0
\end{align}
}

よって，

 {
\begin{align}
& \lim_{R \to \infty} \oint_{C} f(z) \mathrm{d} z \\
=\ & \lim_{R \to \infty} \left\{ \int_{C_{1}} f(z) \mathrm{d} z + \int_{C_{2}} f(z) \mathrm{d} z + \int_{C_{3}} f(z) \mathrm{d} z + \int_{C_{4}} f(z) \mathrm{d} z \right\} \\
=\ & \alpha \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha (x-p)^{2}} \mathrm{d} x - \alpha \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha \{x-(p+qi)\}^{2}} \mathrm{d} x \\
=\ & 0
\end{align}
}

であり，ガウス積分 Part 1より，

 {
\begin{align}
& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha \{x-(p+qi)\}^{2}} \mathrm{d} x \\
=\ & \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha (x-p)^{2}} \mathrm{d} x \\
=\ & \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
\end{align}
}

となる．

次回記事